Wie Fibonacci-Zahlen entstehen

Die Fibonacci-Zahlen bilden eine Folge von Zahlen, deren Entstehung man recht gut mit der folgenden Aufgabe versteht:

Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci (etwa 1170-1250), schrieb um 1202 ein Buch mit Rechenaufgaben,
das «Liber Abbaci» (lat. liber=Buch, abacus=Rechenbrett). Darin gibt es eine Kaninchenaufgabe:

Ein Mann hält sich ein Kaninchenpärchen in einem Gehege. Dieses Kaninchenpaar bekommt jeden Monat Nachwuchs, aber erst vom 2. Lebensmonat an (also im 1. Lebensmonat noch nicht, das ist wichtig!). Der Nachwuchs besteht immer aus zwei Kaninchenkindern, und zwar immer aus einem Männchen und einem Weibchen (ein neues Pärchen).
Die Kinder verhalten sich genauso wie ihre Eltern, bekommen also im ersten Monat noch keine Kinder, danach aber Monat für Monat zwei Kinder in Form eines neuen Pärchens.
Wie viele Kaninchenpaare gibt es dann nach 12 Monaten?


Lösung:

Nach 1 Monat gibt es immer noch 1 Paar, weil es erst ab dem 2. Lebensmonat Nachwuchs gibt.
Nach 2 Monaten hat das Pärchen Junge bekommen, es gibt 2 Pärchen.
Nach 3 Monaten hat das erste Pärchen nochmal Junge bekommen, das zweite noch nicht, es dauert ja einen Monat, bis sie Junge bekommen, also 3 Pärchen.
Nach 4 Monaten gibt es von den ersten beiden Pärchen Junge, also 3+2=5 Pärchen.
Nach 5 Monaten haben die Pärchen nochmal Junge bekommen, die schon vor 2 Monaten da waren, also sind es jetzt 5+3=8 Pärchen.

sdfsdf Das Besondere besteht also darin, dass sich die Anzahl nicht einfach von Monat zu Monat verdoppelt, sondern dass nur von den Pärchen Nachkommen hinzukommen, die schon 2 Monate zuvor da waren. Das geht dann immer so weiter, als Tabelle sieht es folgendermaßen aus:

Fibonaccis KaninchenFibonaccis Kaninchen
Am Anfang1 Paar
Nach 1 Monat1 Paar
Nach 2 Monaten1+1=2 Paare
Nach 3 Monaten2+1=3 Paare
Nach 4 Monaten3+2=5 Paare
Nach 5 Monaten5+3=8 Paare
Nach 6 Monaten8+5=13 Paare
Nach 7 Monaten13+8=21 Paare
Nach 8 Monaten21+13=34 Paare
Nach 9 Monaten34+21=55 Paare
Nach 10 Monaten55+34=89 Paare
Nach 11 Monaten89+55=144 Paare
Nach 12 Monaten144+89=233 Paare
Fibonaccis Kaninchen
Nach 12 Monaten sind es schon 233 Paare,
also 466 einzelne Kaninchen (s. rechts)!


Die Anzahl der Paare an den Monatsenden
nennt man auch die Fibonacci-Zahlen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Und nun zur Fibonacci-Spirale...
Fibonaccis Kaninchen



Wie eine Fibonacci-Spirale entsteht

spirale mit Fibonacci-Zahlen Wenn man Quadrate mit den Seitenlängen der Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 466 usw. so anordnet wie im Schaubild rechts, kann man eine besonders schöne Spirale, die sog. Fibonacci-Spirale darin konstruieren.

Das Verhältnis der von der Größe her benachbarten Quadrate nähert sich dabei immer mehr dem Verhältnis des «Goldenen Schnittes» an, einem als besonders harmonisch empfundenen Größenverhältnis, das in der Kunst eine große Rolle spielt.






Fibonacci-Zahlen in der Natur nach oben


Edelgard Jüttner, Dyskalkulietherapeutin